第三章总复习题课

一、填空题

1.函数\begin{aligned} y=-x^4+2x^2 \end{aligned}的极小值为[ 0 ].

2.函数\begin{aligned} y=2x^3-6x^2-18x+7 \end{aligned}的极大值为[ 17 ].

二、选择题

3.曲线\begin{aligned} y=3x^2-x^3 \end{aligned}在[ B ].

A.(1,+\infty)是凹的，在(-\infty,1)内是凸的；

B.(1,+\infty)是凸的，在(-\infty,1)内是凹的；

C.(0,+\infty)是凸的，在(-\infty,0)内是上凹的；

D.(0,+\infty)是上凹的，在(-\infty,0)内是上凸的.

解析：y=3x^2-x^3定义域为(-\infty,+\infty),\\ y'=6x-3x^2,y''=6-6x=0,x=1\\ 在(-\infty,1)内，y''=6-6x>0\\ 在(1,+\infty)内，y''=6-6x<0

4.求曲线y=x{\rm e}^{-x}在[ A ].

A.(2,+\infty)是凹的，在(-\infty,2)内是凸的；

B.(2,+\infty)是凸的，在(-\infty,2)内是凹的；

C.(1,+\infty)是凸的，在(-\infty,1)内是凹的；

D.(1,+\infty)是上凹的，在(-\infty,1)内是上凸的.

解析：函数y=x{\rm e}^{-x}的定义域(-\infty,+\infty),\\ y'=(1-x){\rm e}^{-x},y''=(x-2){\rm e}^{-x},\\ 令y''=0,得x=2,\\ 当-\infty<x<2时，y''<0,\\ 当2<x<+\infty时，y''>0\\ 可知，拐点为(2,2{\rm e}^{-2})，在(-\infty,2]内凸，\\ 在[2,+\infty)内凹.

三、计算题

5.求极限\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{{\rm e}^{x^2}-\cos x}{x^2} \end{aligned}

答：\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{{\rm e}^{x^2}-\cos x}{x^2}&=\lim_{x\to0}\frac{2x{\rm e}^{x^2}+\sin x}{2x}\\ &=\lim_{x\to0}{\rm e}^{x^2}+\frac12\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\\ &=1+\frac12\\ &=\frac32. \end{aligned}

6.求极限\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\tan x-x}{x-\sin x} \end{aligned}

答：\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\tan x-x}{x-\sin x}&= \lim_{x\to0}\frac{\sec^2x-1}{1-\cos x}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{\tan ^2x}{1-\cos x}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{\frac12x^2}\\ &=2. \end{aligned}

四、证明题

7.设f(x)在[1,a]上连续，在(1,a)内可导且f(a)=af(1)，求证：存在一点\xi\in(1,a)，使f(\xi)-\xi f'(\xi)=0.

证明：设\begin{aligned} F(x)=\frac{f(x)}{x} \end{aligned}，则F(x)在[1,a]上连续，在(1,a)内可导，又\begin{aligned} F(a)=\frac{f(a)}{a}=\frac{f(1)}{1}=F(1) \end{aligned}，根据罗尔定理，至少存在一点\xi\in(1,a)，使得F'(\xi)=0，即\begin{aligned} \frac{\xi f'(\xi)-f(\xi)}{\xi^2}=0 \end{aligned}，从而\xi f'(\xi)-f(\xi)=0.

8.设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)=0，证明在(0,1)内至少存在一点\xi，使得\begin{aligned} f'(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi} \end{aligned}成立。

证明：设F(x)=xf(x)，则它在[0,1]连续，在(0,1)内可导，且F(0)=0,F(1)=f(1)=0，由罗尔定理，在(0,1)内至少存在一点\xi使得F'(\xi)=0，即\begin{aligned} f'(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi} \end{aligned}成立。

五、解答题

9.欲围一个面积为150\ {\rm m}^2的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米6p，其余三面是每平方米3p，问场地的长、宽各为多少米时，才能使所用的材料最少？

解答：设所围矩形场地正面长为x \ {\rm m}，另一边长为y\ {\rm m}，则矩形场地面积为\begin{aligned} xy=150,y=\frac{150}{x}. \end{aligned}设四面围墙的高相同，都为h.则四面围墙所使用的材料的费用f(x)为

令f'(x)=0可得驻点x_1=10,x_2=-10(舍掉).

由于驻点唯一，由实际意义可知，问题的最小值存在，因此当正面长为10米，侧面长为15米时，所用材料费最小。

10.一房地产公司有50套公寓要出租。当月租金定为4000元时，公寓会全部租出去。当月租金每增加200元时，就会多一套公寓租不出去。而租出去的公寓平均每月需花费400元的维修费。试问房租定为多少时可获得最大收入？

解答：设每套公寓月租金为x元，则租不出去的公寓套数为\begin{aligned} \frac{x-4000}{200}=\frac{x}{200}-20 \end{aligned}，租出去的套数为\begin{aligned} 50-\left(\frac{x}{200}-20\right)=70-\frac{x}{200} \end{aligned}，租出去的每套公寓获利(x-400)元。故总利润为

令y'=0，得驻点x=7200.由y''<0知x=7200为极大值点，又驻点唯一，这个极大值点就是最大值点。即当每套公寓月租金定在7200元时，可获得最大收入。

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